Assistance gravitationnelle

Les orbites

par Larry Bogan

    Ce chapitre sur l'assistance gravitationnelle, appelée aussi réaction de gravitation, fronde gravitationnelle ou effet catapulte (slingshot effect) a été conçu pour répondre aux demandes d'étudiants traitant ce sujet dans des cours. Le but de cet article est d'expliquer, à l'aide de mathématiques simples, le rôle de la sphère d'influence, du paramètre d'impact, de l'excentricité, de la vitesse maximale, de l'angle de déflexion.

 

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  1. Description générale 

     Les lois de Kepler appliquées aux orbites elliptiques, n'impliquent que 2 corps. Lorsque 3 corps sont impliqués il faut effectuer quelques modifications et approximations si nous voulons utiliser les simples équations de mécanique céleste. Dans le cas ci-dessous, une sonde spatiale est envoyée, sur une orbite autour du soleil, vers une planète. Cette orbite suit une ellipse autour du Soleil. La planète n'interagit pas avec la sonde jusqu'à cette dernière  en soit suffisamment proche. Alors, la gravité l'emporte sur celle du Soleil et la sonde "tombe" vers la planète. Cette région s'appelle la sphère d'influence.

une sonde spatiale est envoyée, sur une orbite autour du soleil, vers une planète.
http://www.go.ednet.ns.ca/~larry/orbits/gravasst/Probeorb.gif

   

   A l'intérieur de cette zone, la sonde est en orbite autour de la planète, plutôt qu'autour du Soleil. La sonde est entrée dans la sphère de l'influence avec une vitesse supérieure à la vitesse d'évasion de la planète et de ce fait elle est obligée d'en sortir et d'échapper ainsi à la sphère d'influence. Cependant,  près de la planète, le parcours sera hyperbolique plutôt qu'elliptique et son centre de déplacement sera la planète plutôt que le Soleil. Une fois la sonde sortie de la  sphère d'influence de la planète, elle retrouvera son parcours sur une orbite elliptique, mais différent de celui précédent l'arrivée.

   Nous allons voir, étape par étape, comment évolue ce parcourt à travers les 4 chapitres suivants:
  • Sphère d'influence gravitationnelle d'une planète.
  • Mouvement relatif d'une sonde spatiale et d'une planète
  • Orbites hyperboliques autour d'une planète
  • Transition d'une orbite solaire vers une orbite planétaire et retour à l'orbite solaire

 

  1. Sphère d'influence

  La force de gravitation varie proportionnellement à la masse du corps attracteur et inversement avec le carré de la distance qui  sépare la sonde à ce corps. Le Soleil étant beaucoup plus massif que toute autre planète, sa gravité domine tout le Système solaire. Ce n'est qu'à proximité des planètes que leur gravité l'emporte sur celle du Soleil.

   Notre premier travail consistera à déterminer le point entre le Soleil et la planète où leur gravité s'annule. Ce serait correct, si nous ne considérions pas les objets en mouvement. Puisqu'il y a une accélération orbitale aussi bien que de la gravitationnelle, il faut en tenir compte. Après dérivation, Laplace calcula le rayon de la sphère de l'influence:

 

rPlanète = DSP [MPlanète/MSoleil]2/5
avec
  • DSP       = Distance Soleil - planète 
  • MP        = masse de la  planète
  • MSoleil   = masse du Soleil
  • rPlanète  = rayon de la sphère d'influence

  1. Exemple  avec Jupiter et la  Terre

Jupiter

  Le Soleil est 1 047 fois plus massif que Jupiter  (MSoleil/MJupiter = 1 047). 

  La distance qui les sépare est de 5,02 UA (UA = Unité Astronomique = 150 millions km). 

   Ainsi rJupiter = (5,2 x 1,5x108 km) [1/1 047]2/5 = 48,3 millions km

  Le plus éloigné des satellites de Jupiter est à la moitié du rayon de la sphère d'influence de la planète.

  Le rayon de Jupiter est 73 500 km. Ainsi par rapport au rayon de la planète RJupiter , il vient: rJ = 657 RJupiter

 

Terre

  La Terre est 1/333 000 de la masse solaire et seulement à  1 UA. Sa sphère d'influence est donc:

rTerre = 1,5x108km [1/333,000]2/5 = 927 000 km = 2.4 fois la distance Terre - Lune = 145 RTerre (145 fois le rayon terrestre)

  1. Mouvement relatif

  Afin de décrire correctement le mouvement de la sonde  dans la sphère de l'influence de la planète, nous devons savoir sa vitesse par rapport à la planète. Le schéma à droite montre la transformation de la vitesse relative.

  Le mouvement relatif dans le Système solaire par rapport au Soleil est connu et nous devons transformer la vitesse relative au soleil, Vo en une vitesse relative par rapport à la planète, v. Il faut connaître la vitesse relative de la planète (vp) par rapport au Soleil. Il faut aussi savoir à quel endroit la sonde spatiale entre dans la sphère d'influence. Le diagramme ci-contre résume les paramètres concernés.

Transformation de la vitesse relative.

La vitesse relative de la planète est donnée par la différence entre la vitesse de la planète (Vp) de celle de la sonde ou orbiter (Vo) :

 v = vo - vp  

 Puisque la vitesse à une direction et une amplitude, il nous faut déterminer les 2. Le résultat est donné par un petit peu de trigonométrie:      v x = vp - vo cos Ao  et  vy = vo sin Ao

  L'angle de la nouvelle vitesse est donné par:   tan(A) = vy/vx
  L'amplitude de la vitesse est déterminée par: | v | = [vp2 + vo2 - 2 vp vo cos Ao]1/2

http://www.go.ednet.ns.ca/~larry/orbits/gravasst/Veltrans.gif

  1. Orbite hyperbolique

http://www.go.ednet.ns.ca/~larry/orbits/gravasst/orbitpar.gif

      Puisque la sonde spatiale entre dans la sphère d'influence avec une vitesse centripète, la sonde aura une vitesse d'arrivée plus élevée que la vitesse d'évasion de la planète. Cela crée une orbite hyperbolique à l'intérieur de la sphère d'influence dont les paramètres sont visualisés sur le schéma ci-contre. Toutes les orbites (elliptiques, paraboliques et hyperboliques) sont décrites géométriquement par l'équation paramétrique de l'ellipse

r = a ( e2 - 1) /( e cos f + 1)

Visualisation des paramètres d'une orbite hyperbolique à l'intérieur de la sphère d'influence.

avec:

r = distance au centre de la planète à un angle f
 e = excentricité de l'orbite ( e > 1 pour une orbite hyperbolique)
 a = ½ grand axe de l'orbite elliptique, distance entre le point d'intersection le plus proche des lignes asymptotiques pour une orbite elliptique.
f = position angulaire de la sonde le long de l'orbite par rapport  périhélie, mesurée à partir du Soleil. 

 Lorsque la sonde est trop éloignée de la planète (à l'entrée dans la sphère d'influence), l'angle est au maximum fm .    Pour e  cos fm + 1 = 0 cela donne la relation avec l'excentricité de l'orbite:    e = -1/cos fm   .      

   La vitesse de la sonde se dirigeant vers la planète, alors qu'elle n'est pas entrée dans la sphère d'influence, est orientée le long d'une droite nommée asymptote initiale (ligne asymptotique sur le schéma), qui passe à une distance minimale du foyer que l'on nomme paramètre d'impact (b). Il ne faut pas confondre cette distance et la distance entre la sonde et le foyer  lors de l'approche minimale, alors que la sonde est au périastre (le périgée d'un astre) de sa trajectoire.

   Le paramètre d'impact avec la vitesse, v, détermine l'angle de déflexion, 2q.

b = [GM/v2 ] cotg q

  M = masse de la planète
  G = constante de gravitation universelle = 6.67x10-11 N kg2/m2
  Le maximum angulaire et la déflexion angulaire sont reliés par: fm = p/2 + q
  Par conséquent, l'excentricité devient:  e = 1/sin q

  Ces rapports sont importants pour déterminer l'effet de la planète sur l'orbite de la sonde.

   Une propriété utile, les orbites sont symétriques autour de leur ½ grand axe. La vitesse d'arrivée au périjove (le point le plus proche de Jupiter) aura la même grandeur que la vitesse sortante à la même distance du périjove. Nous utiliserons cette propriété dans notre exemple lorsque la sonde spatiale croisera les frontières de la sphère d'influence.

    Cet exercice n'examine pas en détail le parcours près de Jupiter mais des choses telle que la distance de l'approche la plus étroite (périjove) peuvent être déterminées avec les équations indiquées et la conservation de l'énergie.

v2 = GMP[2/r - 1/a]      où


a = le ½ grand axe de l'orbite (dans le cas d'une orbite hyperbolique, il sera de valeur négative) and
v = la vitesse à la distance, r, de la planète de masse Mp

 

  1. Réaction de gravitation 

Orbite hyperbolique de la sonde Donnons un exemple réaliste pour utiliser Jupiter afin d'accroître l'énergie d'une sonde spatiale. Cela se fera par étapes successives pour éviter la confusion:

  • établir l'orbite et ses paramètres de vol de la Terre à Jupiter.

  • sélectionner un point où la sonde entrera dans la sphère d'influence avec transformation de la vitesse relative à celle de Jupiter.

  • déterminer l'orbite hyperbolique de la sonde dans la banlieue de Jupiter.

  • ramener la vitesse sur l'orbite hyperbolique, en quittant la sphère d'influence, à la vitesse dans le Système solaire.

  • déterminer la nouvelle orbite de la sonde autour du soleil.
    http://www.go.ednet.ns.ca/~larry/orbits/gravasst/Hyperorb.gif

 

  1. Début du vol

    Le diagramme ci-dessous montre les orbites vues au-dessus de l'écliptique (plan des orbites des planètes).

L'orbite de la sonde a été choisie pour avoir un aphélie au-delà de l'orbite de Jupiter
http://www.go.ednet.ns.ca/~larry/orbits/gravasst/e-jorbit.gif

  La plus petite orbite  pour le vol  Terre - Jupiter est une orbite avec le périhélie au rayon orbital de la Terre et l'aphélie au rayon orbital de Jupiter. L'orbite de la sonde a été choisie pour avoir un aphélie au-delà de l'orbite de Jupiter, si bien que le sens de la vitesse aura le meilleur angle d'attaque lors du rendez-vous pour obtenir une réaction de gravitation bien adaptée pour atteindre la cible suivante. 

  Le schéma de droite montre les paramètres du vol orbital.  La Terre, sur son orbite tourne autour du Soleil à la vitesse de 29,8 km/s. Pour atteindre l'orbite désirée, la sonde devra avoir un incrément de vitesse (D V) de 9,2 km/s par exemple. Elle croisera l'orbite de Jupiter avec un angle presque tangentiel de 160°. A ce moment-là, elle aura ralentit à la vitesse de 9,36 km/s. Le vecteur vitesse aura un angle de 36,8° vers l'extérieur, la composante de la vitesse perpendiculaire au rayon vecteur sera alors de 7,49 km/s. Jupiter qui se déplace à 13,07 km/s sera plus rapide que la sonde. La forme de l'orbite et les vitesses seront calculées à partir des équations ci-dessous.

 Le schéma montre les paramètres du vol orbital.


http://www.go.ednet.ns.ca/~larry/orbits/gravasst/V_comp.gif

  1. Paramètres orbitaux  du survol

  Ci-dessous, les calculs donnant les chiffres du schéma. Le lecteur pourra les vérifier.

  • 3e loi de Kepler: P2 = a(UA)3
    P = période en années et a = ½ grand axe orbital (distance moyenne au Soleil)
  • distance du périhélie: rp = a(1 - e)
    e = excentricité de l'orbite
  • distance à l'aphélie: ra = a(1 + e)
  • ½ grand axe: a = (rp + ra)/2
  • ½ petit axe:  b = ( 1- e2)1/2a
  • Vitesse locale: A = pab/P
  • Vitesse circulaire: vc = 2pa/P
  • Vitesse au périhélie: vp = vc [(1 + e)/(1 - e)]1/2
  • Vitesse à l'aphélie: va = vc [(1 - e)/(1 + e)]1/2
  • Distance radiale, r, par rapport à l'angle au périhélie, q: r = [a (1 - e2)]/[e cos q + 1]
  • Vitesse perpendiculaire au vecteur rayon, v_ est déterminée de la vitesse locale: A = 1/2 ( r v_)

      La situation pour un survol de Jupiter étant définie, il faut maintenant considérer l'interaction gravitationnelle de Jupiter sur la sonde.

 

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“Kepler - Orbites  - Assistance gravitationnelle” par Larry Bogan

http://www.go.ednet.ns.ca/~larry/orbits/gravasst/gravasst.html

http://www.go.ednet.ns.ca/~larry/orbits/orbits.html

http://www.go.ednet.ns.ca/~larry/orbits/ellipse.html

http://www.go.ednet.ns.ca/~larry/orbits/kepler.html

“Assistance gravitationnelle en mécanique céleste” par James A. Van Allen

http://www.dur.ac.uk/bob.johnson/SL/AJP00448.pdf

 “Simulation d'une sonde planétaire”  http://www.pma.caltech.edu/~physlab/ph21/21_2.pdf

“Trajectoires en assistance gravitationnelle” http://users.erols.com/richdoran/assist

 

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