Formules et unités

  Ici sont présentées les formules nécessaires à la compréhension de certains articles de ce site. Elles concernent aussi bien la physique, l'astronomie et l'astronautique.

dernière mise à jour le 26/03/01: Impulsion spécifique ainsi que poussée et puissance.


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1 Lois de Kepler 16 radian
2

révolution d'un satellite

17 Réaction de gravitation
3 chute d'un corps sur le Soleil 18 Longueur d'onde et fréquence
4 Gravitation universelle 19 Rappel sur les multiples
5 Intensité de la gravitation 20 Erg
6 Vitesse de libération 21 Unités de magnétisme
7 force d'attraction  22  Vitesse de la lumière
8 Loi de gravitation  22 effet de Cerenkov
9 Calcul du poids  23 Electron-volt
10 vitesse de chute du corps  24 Loi de Joule
11

 Distance d'une planète à une autre

25

 Impulsion spécifique

12 Volume d'une sphère 26

 Poussée d'une fusée

13 Masse du volume 27

 Puissance d'une fusée

14 Unités de distance 28

Constante de Planck h

15 Rappel sur les unités du cercle 29 Energie cinétique d'une particule 

 

  1. Lois de Kepler (1571 - 1630)

   3ième loi de Kepler (1619) - C'est la plus importante, car elle permet de calculer les distances planétaires au Soleil. Elle donne une valeur relative qu'il faut multiplier par l'unité astronomique (UA), correspondant à la distance Terre - Soleil, soit 149 597 870 km.

   Le cube du ½ grand axe est proportionnel au carré des périodes:

                           Le cube du ½ grand axe est proportionnel au carré des périodes:

  •    T1  : révolution de la planète n° 1 en secondes, autour du Soleil

  •     T2  : volution de la planète n° 2 en secondes, autour du Soleil

  •     A1  : rayon de l’orbite de la planète n° 1, en mètres.

  •     A2  : rayon de l’orbite de la planète n° 2, en mètre.

   1ière loi de Kepler (1609)  Les planètes décrivent des ellipses dont le Soleil occupe l'un des foyers.

   Une ellipse est une courbe plane fermée, telle que la somme des distances d'un de ses points à 2 autres points intérieurs, appelés foyers, est constante. C'est une orbite. 

   2ième loi de Kepler (1609):
   Les planètes décrivent sur cette ellipse une orbite dont la vitesse varie constamment, car, au cours du mouvement autour du Soleil, la surface balayée, sur le rayon planète-Soleil, est constamment égale. C'est la loi des aires: surfaces égales pendant des temps égaux.

   La vitesse d'une planète sur son orbite est d'autant plus rapide qu'elle est proche du Soleil.

retour à la Lune (orbite) et libration  , missions martiennes, terre

 

  1. Période de révolution d'un satellite autour d’un astre.

                          période de révolution d'un satellite autour d'un astre.

  •    T    :   période de révolution d’une planète autour du Soleil,  en secondes.        

  •   R    :   rayon du Soleil en mètres

  •   D    :   rayon de l’orbite de la planète en mètres.

  •   g s   :   gravitation à la surface du Soleil

 

  1. Chute d'un corps sur le Soleil

     Après calcul selon l'équation ci-dessus, la chute d'un corps sur le Soleil devient :  

la chute d'un corps sur le Soleil

retour à la Terre, Soleil (année),Soleil (calcul),

     

  1. Gravitation universelle

                                 Gravitation universelle

  • g0  :  intensité de la pesanteur à la surface en m.s-2

  • k   :  constante de gravitation = 6,6873.10-11.m3. kg-1. s-2

  •  M   :  masse de l’objet en kilogrammes.

  • R   :   rayon de la sphère en mètre.

   La pesanteur varie comme l'inverse du carré de la distance au centre et elle est proportionnelle à la masse

retour à Mercure, Terre, Mars , Vénus

 

  1. Intensité de la gravitation

                     Intensité de la gravitation    

 

 

  • g    :  intensité de la pesanteur à l’altitude h, en m.s-2.

  •   g0   :  intensité de la pesanteur à la surface de l’astre en m.s-2.

  •   h   :  altitude en km.

  •   R   :   Rayon de l’astre en km.

retour à Jupiter

 

  1. Vitesse de libération

                  Vitesse de libération

   

  •   Vl  :    vitesse de libération en ms-1.  

  •   R    :    rayon de l’astre en mètres.

  •  g0    :   intensité de la pesanteur à la surface de l’astre en  m.s-2 

retour à Terre, Jupiter, MarsVénus

 

  1. force d'attraction  

qu’ exerce un astre ou calcul du poids d’un objet à la surface d’un astre.

                                Poids d’un objet à la surface d’un astre.

  

  •   R          : rayon de l’astre en km.

  •   g0         :  intensité de la pesanteur à la surface.

  •   h          : altitude en km.

  •   m         : masse de l’objet en kg.

  • P ou F    : poids ou force en kg.

 retour à étoile

  1. Loi de gravitation de NEWTON    
    (Attraction Universelle)

                        Attraction Universelle

 

   

  • k :  constante de gravitation = 6,6873.10-11.m3. kg-1. s-2

  •  m :  masse de la planète en kilogrammes.

  •  M : masse de l’objet attracteur en kg .
          Par ex : Soleil = 2 .1030 kg.

  •   d : distance entre les 2 objets en mètres.
          
    Par ex : Terre - Soleil = 1,5.1011 m.

  •   F :  force d’attraction en newtons (N).

 retour à marées gravitationnelles, Terre, Soleil

 

  1. Calcul du poids

   Le poids en newton est le produit de la masse par l'accélération de la pesanteur. Ainsi pour trouver la masse d'un propergol, il faut diviser le poids par 9,81.

P = mg

  •     P   :  poids en newton (N )

  •    m   :  masse de l’objet en kg

  •     g   :   valeur de g, selon le lieu, en m.s-2

     Le newton est la force communiquant à une masse de 1 kg une accélération de 1 mètre par seconde. Ainsi lorsqu'on parle de force, 1 kg vaut 9,8 newtons. Dans la pratique on arrondit à 10. La poussée des moteurs s'expriment en newtons et très souvent en daN car 10 N = 1 kg.

     Unité de pression:   1 hPa = 1 Hectopascal = 100 Pascal = 100 N/m2 (approximativement 1 mbar).

  1. Vitesse de chute du corps à la 1ère seconde
     ou Vitesse atteinte,  en m/s ( m.s-1

V = g0

h = ½ g0 t2 

  •   h   : hauteur de la chute en m.

  •   g0  : (voir §4) intensité de la gravitation à la surface de l’objet en  m.s-2.

  •   t    : durée de la chute en s.

  •   v   : vitesse atteinte après t (s) en  ms-1.

 

  1. Distance d'une planète à une autre

Distance d'une planète à une autre

   Distance d'une planète à une autre

  Distance d'une planète à une autre     

  •  R   :   rayon de l’orbite de la planète 1 au Soleil, en millions de km.

  •  D   :   rayon de l’orbite de la planète 2 en millions de km.

  •  A   :   angle en degrés permettant de situer la  planète 1.

  •  X   :   distance de la planète 1 à la planète 2 en millions de km.

  •  B   :   écart angulaire de la planète 1 par rapport à la planète 2 et au soleil.

 

  1. Volume d'une sphère

V = 4/3 p R3

       R    :  rayon de la sphère

  1. Masse du volume

m = d.V

  • d     :  densité.

  • V     :  volume.

Retour au Soleil , à la Terre 

  1. Unités de distance

  1. Unité Astronomique 149 597 870 km
    C'est la distance Terre - Soleil 

  2. année-lumière (al) = 9,5.1012 km = 63 240 UA
     Le rayon du Système Solaire fait 63 000 fois la distance Terre - Soleil.  

   C' est la distance parcouru par la lumière pendant une année,  sachant qu'elle se déplace à 300 000 kilomètres par seconde. C'est l'appellation de distance qui prévaut dans l'Univers:
300 000 x 60 x 60 x 24 x 365,25  = 9 467,28 milliards de kilomètres ou plus couramment 9 500 milliards de km.

  1. parsec  ( pc ) = 206 265 UA = 3,2616 années-lumière

   Contraction de parallaxe par seconde d'arc. C' est la distance à laquelle, la distance Terre-Soleil est vue sous un angle de 1 seconde d'arc, soit: 3,26 années-lumière . Mais sont plus souvent utilisés le kilo-parsec ( Kpc ) soit 3 260 al et le méga-parsec ( Mpc ) soit 3,26 millions d' al.

retour à galaxie, à Orion, au Soleil, à NGC 2392 , Univers , M13, NGC 3314 , à marées gravitationnelles ,

  1. Rappel sur les unités du cercle.

   Hipparque (-161 à -121) est à l'origine de la division du cercle actuelle.

  •    1 cercle         =  360 degrés

  •     1°                   =  60 minutes d' arc.

  •     1mn d'arc    =  60 secondes d' arc

  •     1°                   =  3 600 secondes d' arc

  •     360°              =   1 296 000 secondes d' arc

  •     1s                  =  1/ 1 296 000  de cercle soit 0,969 mm à 200m ou bien un détail de 2 km sur la Lune.

    Le pouvoir séparateur de l' oeil est d' environ 2mn d'arc, soit ½ mm à 1 m.

    La Lune et le Soleil sont vus sous un angle de 30 mn d'arc, soit ½ degré ou:  

  • 8,7 m à 1 km 

  • 8,7 mm à 1 m , l'équivalent d'une pièce de monnaie de 5 centimes à bout de bras.

retour au Soleil

 

  Le diamètre du cercle c'est aussi  :   

2pR

soit pour 1 seconde d'arc en km, si R est en millions de km:   

  D'où, pour Mars, distante en moyenne à 100 millions de km de la Terre: 1 seconde d'arc vaudra : 4,84 X 100 = 484 km. C'est voir un détail de 1 mm à 200 m. Or, nous n'apercevons un homme à 200 m que sous la forme d'un point, donc inutile de chercher à voir quelques cheveux.

  Lors des plus grands rapprochements son diamètre apparent est de 26 secondes, tandis qu'il peut atteindre 12 secondes lors des oppositions à l' aphélie ( distance la plus éloignée du Soleil). Ainsi, à l'œil nu, nous n'apercevrons jamais plus qu' un point , car 26X484 = 12 584 km et son diamètre est de 6 800 km. Et d'autre part, ne pas oublier que l'œil à une résolution de 2 mn d'arc et que si l'on "voit" Mars, c'est à cause de son éclat.

Retour à instruments, Mercure, Vénus

  1. Radian (rd)

  Le radian est une unité de mesure qui permet de faire une relation rapide entre l'angle de champ et le champ de vision à 1 km.

   Sa valeur de 57,3° correspond à la 1/2 circonférence divisée par p , soit :

1 rd = 180°/p = 57,3°

  Son sous-multiple le milliradian, mrd, ( 57,3°/1000 = 0,057 °) correspond à:

  •  un angle de champ de 1 m vu à 1 km soit un angle de 0,06° ou bien 3,6 mn d'arc (216 s).

          Ainsi  ~ 20 s d'arc (21,6 s ) = 10 cm à 1 km

  Le degré est équivalent à  p/180 = 17, 4 mrd ou 17,4 m à 1 km. 

  • La Lune et le Soleil sont vus sous un angle de 30 mn d'arc, soit ½ degré ou:  

  • 8,7 m à 1 km 

  • 8,7 mm à 1 m , l'équivalent d'une pièce de monnaie à bout de bras.

   Aussi pour un angle de champ de 7,1°, il suffit de multiplier par 17,4 pour obtenir un champ de 123,5 m à 1 km.

retour à instrument , Soleil (Trace) ,

  1. Réaction de gravitation

Réaction de gravitation  Grâce à la réaction de gravitation, une sonde s'approchant d'une planète avec une vitesse V, s'en éloignera avec une vitesse V' qui sera plus grande ou plus faible  selon l'angle avec lequel la planète sera abordée. Elle sera ainsi déviée plus ou moins fortement, selon la masse de l'astre détourneur.

  La sonde décrit un arc d'hyperbole dans le domaine de la planète. Elle en ressort dans une direction différente de celle qu'elle l'a abordée. La somme vectorielle des vecteurs de vitesse de la planète et de la sonde à son arrivée, donne la vitesse de la sonde réinjectée dans l'espace. Voir le chapitre concerné.

retour à Soleil, Mercure (Mariner 10), Mercure (mission) , soleil (satellites)

  1. Longueur d'onde et fréquence

  La longueur d'onde l caractérise la fréquence d'une oscillation.

Longueur d'onde et fréquence

  • l = longueur d'onde en mètres, 

  • C = la vitesse de la lumière en mètres (3.108)

  • F = fréquence de la vibration en hertz (hz),

  • le hertz étant la fréquence d'une période par seconde.

   D'où, pour l = 200 nm (nanomètres),

   La fréquence (F) sera de 1,5  Phz soit 1,5 millions de milliards de périodes par seconde

   Remarque:   1 nm = 10 Å (Angströms) 

  Pour mémoire, la tension alternative que nous livre EDF, vibre à raison de 50 Hz (50 périodes par seconde). L' oreille peut percevoir des vibrations de 30 Hz à 16 kHz (kilohertz) et les chiens jusqu'à 30 kHz. La télévision nous envoie des signaux à 500 MHz (mégahertz)  qui sont captés par l'antenne, que le téléviseur amplifie et convertit en images et sons. Les radars utilisent des fréquences de 1  à 40 GHz (gigahertz ou milliards de périodes par seconde). La diffusion de la télévision par satellite s'effectue de 10 GHz à 40 GHz.

   Si nos oreilles sont limitées dans les basses fréquences sonores, nos yeux par contre, sont sensibles à des fréquences lumineuses entre 430 THz  (rouge) et 750 THz (bleu)  périodes par seconde. Cela correspond à des longueur d'ondes de 400 à 700 nm.  La sensibilité maximale de notre oeil se situe à 550 nm ce qui correspond à la couleur verte. Quant à une radioscopie permettant de traverser notre corps, les ondes sont plus courtes et se situent dans la bande de rayons X. C'est de l'ordre de 100 nm. Les sursauts gamma que nous envoient les supernovae sont encore plus courtes. Il faut savoir que plus une onde est courte, plus sont énergie est grande.

  

retour à ozone

  1. Rappel sur les multiples

multiple

préfixe

symbole

 

1.1018

exa

E

milliard de milliards

1.1015

péta

P

million de milliards

1.1012

téra

T

mille milliards

1.109

giga

G

milliard

1.106

méga

M

million

1.103

kilo

k

mille

1.102

hecto

h

cent

10

déca

da

dix

1

 

 

unité

1.10-1

déci

d

dixième

1.10-2

centi

c

centième

1.10-3

milli

m

millième

1.10-6

micro

µ

millionième

1.10-9

nano

n

milliardième

1.10-10

 

å

angström

1.10-12

pico

p

millième de milliardième

1.10-15

femto

f

millionième de milliardième

1.10-18

atto

a

milliardième de milliardième

 

  1. Erg

   Bien que son emploi ne soit plus autorisé, les astronomes font de la résistance. Aussi pour faciliter la conversion en Joule, voici sa valeur équivalente :

  • 1 erg = 1.10-7 Joule

  • 1 joule = 1 watt/s = 1.107 ergs 

retour M1 , supernova

  1. Unités de magnétisme

  Bien souvent ces unités sont peu connus.

  • Champ magnétique    :     oersted :    1.105 g (gamma)= 1.10-4 T

  • Induction magnétique:     Gauss (vide)   :   1 oersted (vide)

  • Moment magnétique  :     Weber-mètre (Wm)

  •  Unité d'induction magnétique dans le système CGS :gauss

  •   unité CGS de champ magnétique: oersted

  •  Gauss :  1.10-4 T (tesla)

  • Tesla: unité de mesure de l'induction magnétique donnant sur 1 m² un flux d'induction de 1 weber. 1T = 1Wb/m

  1. Vitesse de la lumière

    Dans le vide l'indice de réfraction est de 1. Cela signifie que rien ne ralentit le flot de photons. La vitesse de la lumière est proche de 300 000 km/s. Soit exactement:  

  •   299 792 458, 159 219 m/s.

   Dans l'eau, l'onde se heurte constamment aux molécules et suit sans cesse un chemin tortueux. L'indice de réfraction est de 1,333. La lumière s'y déplace donc 1,333 fois moins vite, soit: 

  • 225 000 km/s.

   Mais si dans l'eau, la lumière va moins vite, il n'en est pas de même pour les particules, notamment les électrons des rayons cosmiques. Ceux-ci ne sont pas influencés par le milieu. Ils gardent leur vitesse, celle de 300 000 km/s. Ils dépassent donc la vitesse des photons, qui est de 225 000 Km/s.

   Il se produit alors un phénomène baptisé : effet de Cerenkov, un cône de lumière se déplace dans le sillage de la particule, à l'image du bang sonique provoqué par le passage du mur du son dans l'atmosphère. La vitesse de l'avion est supérieure à la vitesse de propagation du son.

retour à matière , utopia

  1. Electron-volt

  Dans l'espace, une particule à 100 000 °K peut côtoyer une autre particule à 100°K. Aussi les physiciens des particules ne pouvant plus parler de température du milieu, ont inventé une unité: l'électron-volt (eV). Ils l'utilisent pour définir les très petites masses. Cette unité d'énergie représente 1,6.10-19 joule. L'équivalence énergie-masse est donnée par la formule d'Einstein: E = mc2, lorsque la particule est au repos. Alors 1 eV = 1,8.10-39 g.

   Pour passer des énergies (en eV) aux  températures absolues (en °K), il suffit de multiplier par 104 . Ainsi 1 million d' eV (106) équivalent à 10 milliards de degrés K (1010).

retour à matière  , Soleil , Andromède

  1. Loi de Joule

  Les électrons en mouvement rencontrent une certaine résistance à l'avancement, dans un conducteur. Cela est dû au choc de ceux-ci sur les molécules du conducteur. Ces chocs consomment de l'énergie qui est dissipée en chaleur. C'est le physicien anglais Joule (1818-1889) qui a régit la loi qui régit l'échauffement des conducteurs: l'effet Joule.

  Si vous voulez mettre en évidence l'effet Joule dans des conducteurs par échauffement de l'eau d'un calorimètre, par application de la relation W = mcQ, il faut considérer la chaleur spécifique de l'eau :  4,18 J/g °C.

   En électricité, 1 Joule = une énergie de 1 watt dépensée pendant une seconde: 1J = Ws-1

retour à Europe

  1. Impulsion spécifique

   L'impulsion spécifique, c'est la durée de fonctionnement d'un moteur de fusée alimenté par 1 kg de carburant pour fournir 1 kg de poussée. Elle est exprimée en secondes.

  On comprend aisément que plus l'impulsion est grande est plus le rendement du moteur est important. Des Isp de l'ordre de 230 à 260 s sont obtenues avec les meilleurs propergols solides et de l'ordre de 270 à 300 s avec les propergols liquides, qui sont plus énergétiques. Quant à l'hydrogène, allié à l'oxygène liquide, il permet d'atteindre et même de dépasser 470 s.

retour à missions lunaires russes  Bourane

  1. Poussée  d'une fusée

   La poussée ou force de propulsion d'une fusée est le produit de la masse des gaz éjectés en une seconde par leur vitesse d'éjection:

P = mV

   Un moteur fusée brûlant 20 kg de propergols par seconde et éjectant les gaz produits par la combustion à la vitesse de 2 500 m/s développera une poussée de 5 000 daN (5 tonnes).

    Le newton est la force communiquant à une masse de 1 kg une accélération de 1 mètre par seconde. Ainsi lorsqu'on parle de force, 1 kg vaut 9,8 newtons. Dans la pratique on arrondit à 10. La poussée des moteurs s'expriment en  décanewtons (daN) . 1 daN = 1 kg et 10 kN = 1T.

P = mg

  •     P   :  poids en newton (N )

  •    m   :  masse de l’objet en kg

  •     g   :   valeur de g, selon le lieu, en m.s-2

   Le poids est le produit de la masse par l'accélération de la pesanteur. Ainsi pour trouver la masse d'un propergol, il faut diviser le poids par 9,81.

  1. Puissance d'une fusée

   La puissance (en kilogrammes - mètres par seconde) fournit par un moteur fusée est le produit de la force (Poussée) par la Vitesse (distance couverte en 1 seconde).

   Soit un moteur développant 2 500 daN de poussée et se déplaçant à 1 500 m/s, le rendement sera d'environ 50 000 CV (Cheval-Vapeur). La conversion en CV nécessite de diviser le résultat par 73,6. Un CV est équivalent à 736 W ou 736 Nms-1 ou 73,6 kgms-1 .

Puissance (CV) = (PdaN x Vm/s) / 73,6

  1. Constante de Planck h:

   Ce nombre qui donne le coefficient de proportionnalité entre l'énergie du photon et sa fréquence est aussi une mesure du moment angulaire des particules.

  D'autre part, la particule de Planck a une masse de 1019 GeV équivalente à la température de Planck: 1032 K, soit environ 20µg. Par définition, c'est la masse de la particule dont la longueur d'onde de Compton est égale au rayon du trou noir. C'est la masse du plus petit trou noir compatible avec la physique quantique. Il s'évaporerait en un temps de Planck, soit 10-43 seconde. C'est l'ère de Planck qui équivaut à la période à laquelle l'Univers aurait atteint 1032 K. Il est situé traditionnellement après le Big-bang.

   Il y a aussi la longueur de Planck qui est le trajet mis par la lumière pendant ce temps, soit 10-33 cm. On dit aussi que c'est la sphère de causalité pendant l'ère de Planck.

(voir: première seconde d'Hubert Reeves)

  1. Energie cinétique d'une particule

       En mécanique relativiste, l'énergie d'une particule de "masse au repos" m, se déplaçant à la vitesse v, avec c la vitesse de la lumière, est:

  • Lorsque la vitesse de la particule est petite par rapport à la vitesse de la lumière, c'est-à-dire v/c << 1, nous avons, d'après la relation ci-dessus:

E ~ ½ mv2 + mc2

   Le terme E0 = mc2 représente l'énergie au repos de la particule et le terme Ec = ½ mv2 son énergie cinétique.

  • Lorsque la vitesse v n'est pas petite par rapport à la vitesse de la lumière, on appelle "énergie cinétique" de la particule, le terme:

  • Lorsque la vitesse de la particule est proche de la vitesse de la lumière, c'est-à-dire lorsque v ~ c, E >> E0 et
     E
    c ~ E. On dit dans ce cas que la particule est "ultra relativiste".

       En prenant l'exemple d'un électron, son énergie au repos est E0 ~ 0,5 MeV; et si sa vitesse v est 0,9999 c, son énergie est E ~30 MeV.

            

 

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